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L'ancien challenge

LE GRENIER

Sur le mur d'un grenier sont posés bien verticalement , un miroir rond et un cadre carré de côté 60 cm, les deux coins supérieurs du cadre se superposent avec deux points du miroir.

Seviv
 

Question: quel est le diamètre du miroir?

©Seviv France83-2001

 

 

Les meilleures solutions.

le 27.10.2001

Je suis parvenu à trouver le diamètre du miroir : 75 cm.

L'explication se fait grâce au théorème des angles au centre et inscrits au cercle.
Je vais me fier à la figure jointe (O est le centre du cercle).

Le segment [AB] est une corde du cercle. L'angle (AIB) est un inscrit ; l'angle (AOB) est un angle au centre. Ces deux angles interceptent le même arc. Les mathématiques disent que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit : (AOB)=2*(AIB).

On a pris soin de prendre I au milieu du segment [DC]. On a donc (AIH)=(AIB)/2 et (AOH)=(AOB/2) soit (AOH)=2*(AIH).
On voit que (AID)+(AIH)=90°. Or tan(AID)=AD/AI d'où (ADI)=arctan(AD/DI) et (AIH)=90-arctan(AD/AI) avec AD=60cm et DI=30cm.

On trouve donc à peu près (AIH)=26,57° d'où (AOH)=53,13°.

Dans le triangle AOH, on trouve : sin(AOH)=AH/AO soit AO=AH/sin(AOH) avec AH=30cm.
On trouve AO=37,5cm et AO est le rayon du cercle.

Le diamètre du miroir est donc de 75 cm.
Alexis Seigneurin
Noisy le Grand

 
Le 29.10.2001
 
Solution pour le challenge LE GRENIER


Cos ABA' = AB / A'B
Cos CA'B' = A'B' / A'C

Or A'C et BC sont les rayons du Cercle donc B' et le milieu de A'B
et CA'B' et ABA' sont égaux donc AB / A'B = A'B' / A'C
et A'B = 2A'B'
AB / A'B = (A'B / 2) / A'C
A'C = A'B² / 2AB
A'B² = AA'²+AB²
A'C = (AA'²+AB²) / 2AB
A'C = (30²+60²) / 120
A'C = 4500 / 120
R = A'C = 37,5
Donc Le Rayon du cercle est de 37.5 cm

Xavier LE GROS de Saint PIAT (28)

Le 05.11.2001

 

 
Solution :
 
Le dessin ci dessus représente la situation géométrique  du cadre et du cercle ( miroir ).
On a alors               R + h = a     (1)    avec   h² = R² - (a/2)²   (2)     (théorème de Pythagore)
 
De (1) et (2) on obtient :              R² =  h² +(a/2)² =  ( a - R )²  + a²/4
                                                   R² = a² - 2 a R + R² + a²/4 
                                                   2 a R = 5 a²/4
                                                   R =   5/8 a
 
Si a = 60 cm alors R = 37,5 cm
Salutations
 
De Pra J-M
Liège ( Belgique )

 

 

Le 08.11.2001

 

Réponse : le diamètre du miroir est de 75 cm.
si on appelle x l'angle entre le diamètre vertical et l'une des diagonale du carré, on obtient l'équation
2 sin x = 1 + cos x
qui donne élevé au carré :
4 - 4 cos² x = cos² x + 2 cos x + 1
... et donc cos x= -1 ou cos x=3/5
ainsi, 60 cm = 8/10 du diamètre, ce qui nous donne 75 cm.

OK ! Pacios + Vendôme.

 

Le 11.11.2001

 

diamètre: 75 cm 
résolution géométrique. 
soit A et B les coins du carré en contact avec le cercle. 
On a: AB=a=60 cm 
Soit C le point du carré tangent avec le cercle. 
ABC est un triangle isocèle inscrit dans le cercle. 
Soit x le rayon du cercle. 
O le centre du cercle. 
On a: AO=BO=CO=x 
La médiatrice du côté AB passe par C. Soit D le milieu de AB. 
On a: DC=a. et DO=a-x 
Propriété des triangles rectangles: AO² = DO² + AD² 
soit: x²=(a-x)²+(a/2)² 
en développant, on trouve x=37.5 
d'où un diamètre de 70 cm. 
Frédéric de Toulon. 

Le 14.11.2001

 

Soit x la longueur comprise entre le haut du cadre et le haut du miroir. On
remarque que cette longueur est la meme que celle comprise entre le bas du
cadre et du miroir et leur intersection.
soit y la longueur de la partie du cadre située dans le miroir. on a donc:

x+y=60
D=60+y
60^2+ x^2=D^2 (un triangle rectangle inscrit dans un cercle ayant pour
hypothenuse le diametre du cercle)

apres resolution du systeme, on trouve D=75cm

en espérant avoir été assez clair....


jeremy de rouen.

 

Le 20.11.2001

 

bonjour, 
voici une solution possible
on considère le rectangle formé par les quatre points d'intersection du cadre et du miroir. les diagonales du rectangle sont egales au diametre du cercle. 
D est le diametre du cercle
L est la longueur du rectangle et du carré = 60 cm
l est la largeur du rectangle
E est la différence entre le diametre et la longueur du carré 
1/ D² = L² + l²
2/ D = L + E
3/ D = l + 2E 
2/ --> D² = (L + E)² = L² + 2EL + E²
5/ D² = L² + 2EL + E²
2-3/ --> l = L - E
1/ --> D² = L² + l² = L² + (L-E)² = 2L² - 2EL + E2
4/ D² = 2L² - 2EL + E2
4-5/ D² - D² = 2L² - 2EL + E2 - ( L² + 2EL + E² )
4-5/ 0 = 2L² - 2EL + E2 - L² - 2EL - E²
4-5/ 0 = L² - 4EL --> L(L - 4E) = 0 --> L=4E --> E = 60 / 4 = 15 cm 
Diametre = 60 + 15 = 75 cm 

BRBA

Le 24.11.2001

 

Bonjour,

Voila ma proposition : diametre du miroir=75cm
Pour la justification, il faudrait faire un dessin. C'est bien connu un
beau dessin vaut mieux qu'un long discours.
En utilisant les proprietes de symetrie des cercles et des carres on
peut chercher l'angle du coin superieur droit du carre (qui est
egalement un point du cercle) par rapport a l'horizontal qui passe par
le centre du cercle.
On obtient l'equation : 2cos(t)=1+sin(t) => t=36,87 deg.
apres on deroule les equations reliant a(cote du carre), R(rayon du
cercle) et t.
a-R = Rsin(t)
a=2Rcos(t)
on trouve R=37.5cm
dont le diametre est 75cm.

christophe Pelletier
 Paris.

 

 

Le 01.12.2001

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Comme le cadre à 60 cm de côté, on sait alors que le segment AB vaut 30 cm et AD 60 cm.

 

Par une propriété des angles inscrit dans un cercle, on sait aussi que l'angle ADB vaut la moitié de l'angle ACB. Notons a l'angle ACB et b l'angle ADB. On a donc a=2b.

 

Avec un peu de trigonométrie, il est facile de trouver AC:

 

AC=AB/Tan(a)=30/Tan(a)

 

Et Tan(a)=Tan(2b)=2Tan(b)/(1-Tan2(b))  avec Tan(b)=AB/AD=30/60=0.5

 

Donc Tan(a)=2*0.5/(1-0.25)= 4/3

 

Le segment AC vaut donc  30/(4/3)=22.5

 

De la on en déduit le rayon du cercle :  r = AD-AC=60-22.5=37.5

 

Et par conséquent le diamètre vaut 75 cm.

  

Vincent Schulthess  , Corgémont (Suisse)

Le 06.12.2001

(DC) est tangente en E au cercle de centre O et de rayon r .Elle est donc perpendiculaire à (OE) qui coupe (AB) en K .
(AB) est parallèle à (BC) ; or (KE) est perpendiculaire à (DC) , donc (KE) est perpendiculaire à (AB).
[AO]=[OB] , donc (KE) est médiatrice de [AB] ; donc KB= 60 / 2 = 30

KO = KE - r = 60 - r
Appliquons Pythagore dans le triangle OKB, rectangle en K :
KO² + KB² = r²
(60 - r )² + 30² = r²
3600 - 120r + r² + 900 = r²
120r = 4500
r = 4500/120 = 
r = 37.5 cm

Donc le diamètre du miroir est égal à 37.5 x 2 = 75 cm 


Hélène Vercruysse (31) - élève de 3°

 

Le 11.12.2001

 

 

 

Voici une solution :

 

Le triangle ABC est inscrit dans le cercle, comme BC est le diamètre du cercle alors le triangle ABC est un triangle rectangle.

 

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHC, on a :

 

AC² = AH² + HC²

La distance AH est égale à la moitié du côté du carré soit 30 cm

 

AC² = 60² + 30² = 3600 + 900 = 4500 cm² 

Dans le triangle ABC on a :

 

Dans le triangle ACH, on a :

 On a donc     d’où le diamètre du CB cercle est  

Le diamètre du miroir est donc de 75cm  Cécile Huneau

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